G= gradient of field https://en.wikipedia.org/wiki/Four-gradient
Első kérdés: miért alkalmazzuk a Pauli mátrixot? Nos a mező weak isospinje -1/2 tehát a Higg "isospinileg" fermion.
A matek. Adott a kiindulási egyenlet, ahol a Higgs-mező csatolódik a két mértékmezőhöz.
Dfi=[G + igTW/2 + ihYB/2] 1/sqrt(2) [0][v+h]
A W a weak isospin, aminek olyan komponensei vannak, mint a spinnek, /spinwave?/ SU(2) és a B mező a gyenge hypercharge. U(1)y Az y annyit mutat, hogy ez nem az elektromágnesesség, hanem a hypercharge.
...............
Dfi=[G + igTW/2 + ihYB/2] 1/sqrt(2) [0][v+h]
A következő lépés, hogy "kibontjuk" az egyenletet. Először beszorozzuk a mátrixokkal.
A [0][v] az az állapot vektor, ahol a mező nemzéró értékű.
És meg is kaptuk a cikkben szereplő sajátértékeket.
...............
A következő lépés az első sajátértékhez tartozó sajátvektor megkeresése. Az alap egyenletek ezek.
(A-IL)v=0
Av=Lv
Az utóbbiból felírhatjuk a keresett [v1][v2] sajátvektor mátrix alakját.
[ g*g ,-g*h ] [v1] =L[v1]
[ -g*h, h*h ] [v2] L[v2]
Az első sajátérték volt a foton mezőhöz tartozó
L1=0
[ v1*g*g ,-v2*g*h ] =0[v1]
[ -v1*g*h , v2*h*h ] 0[v2]
v1*g*g -v2*g*h =0
-v1*g*h + v2*h*h =0
innen csak az első sor kell a mátrixból
v1 =v2*h/g
ha v1=1 nek vesszük, akkor -> v2=g/h
Ellenőrzés Av=Lv
1*g*g -g*g*h/h =0*1
-1*g*h + g*h*h/h =0*g/h PF=pont fsza
A vektort átskálázva h-val meg is kapjuk a cikkben szereplő értéket. Igazából ez majd normalizálva lesz egy sqrt(g^2 + h^2) faktorral, ahogy a QM-ben illik.
eigenvector of L1
[v1] = [1] = [h]
[v2] [g/h] [g]
[v1][W]= (hW + gB)
[v2]
normalization
(hW + gB) / sqrt(g^2 + h^2) = A photon
................
Jöhet a Z gyenge bozon-mező sajátértéke
L2=(h*h + g*g)
ismét Av=Lv
[ g*g , -g*h ] [v1] =L2[v1]
[ -g*h , h*h ] [v2] L2[v2]
[ v1*g*g ,-v2*g*h ] =(h*h + g*g)[v1]
[ -v1*g*h , v2*h*h ] (h*h + g*g)[v2]
v1*g*g - v2*g*h =(h*h + g*g)v1
-v1*g*h + v2*h*h =(h*h + g*g)v2
legyen v1=1
g*g - v2*g*h =h*h + g*g
-v2*g*h =h*h
v2 =-h*h/(g*h)
v2 =-h/g
Visszaellenőrzés Av=Lv
1*g*g + h*g*h/g = (h*h + g*g)*1
-1*g*h - h*h*h/g =-(h*h + g*g)*h/g
g*g + h*h = h*h + g*g
-g*g*h - g*h*h*h/g =-h*h*h - g*g*h OK
eigenvector of L2
[v1] = [1] = [g]
[v2] [-h/g] [-h]
[v1][W]= ((gW -hB)
[v2]
normalization / normalizáció
(gW - hB) / sqrt(g^2 + h^2) = Z boson
............
Szóval az egész folyamat leírható a mátrixoknál már megszokott módon. Sajátvektorral.
De mi ez a sajátvektor?
What is an Eigenvector?
https://www.youtube.com/watch?v=ue3yoeZvt8E
Aha, hogy az az irány , amit a transzformáció maximum átskáláz, de békén hagy. Ez a skálafaktor a sajátérték.
De hiszen az Av = Lv egyenlet pont ezt mondja. Csak meg kellene tanulni olvasni benne.