Á, már értem, hogyan gondoltad! Na, úgy persze igen, de az nyilván azon egyszerű dolog miatt van, hogy a vektoriális szorzat a két tényező felcserélére előjelet vált, mert nem kommutatív, még a skalárszorzat nem. Tehát mivel ezek egyszerre lesznek benne a tiszta kvaterniók szorzatában, ezért nyilván azokkal már az úgy van, ahogy leírtad. De persze mondom, ez semmi különlegességet nem takar, ettől még egyéb tekintetben semmi haszna, hogy ezek a különféle szorzatok egy számba vannak kombinálódva, ami ugye a kvaterniók szerkezetéből adott. Hamilton egyébként matematikus volt (bár volt egy igen eredményes és fontos hozzájárulása a relativitáselmélethez, csakúgy, mint Minkowskinak), tehát ő bizonyára szeretett játszani a számokkal, és egy matematikus efféle dolgai kívül esnek a fizikán, és azokra a fizikai alkalmatlanság sem jelent korlátozó erőt. Szóval pusztán a számokkal mindent meg lehet csinálni, amit a matematika megenged, nincs fizikai korlátozás. A fizikus pedig csak azt tudja felhasználni a matematikából, ami neki jó, tehát alkalmas a modellekhez. A mértékegységezés, mint dimenzionálás pl. ezt egy egyszerű formában nagyon közvetlenül mutatja is, de persze nem csak erről van szó. Például a terekből, vagy a differenciálható sokaságfélékből is csak azokat a fajtákat tudja felhasználni a modelljeihez, ami megfelelő, egyszerűen fogalmazva "jól viselkedő". Ez azért szerencse is, mert egy fizikusnak nem kell tudnia a matematikán belül egy témakörben mindent, és nem is kell elmélkedni mindenféle matematikai szörnyedvényeken. Hogy példákat említsek, pl. nem kell foglalkoznia torziós differenciálgeometriával, mert az olyan dolgokat vesz el a matematikai apparátusból, amiknek megléte szerintem mindenképpen fontos ahhoz, hogy fizikai alkalmazásba tudjuk fogni a differenciálható sokaságot az einsteini gravitációelméletben, az általános relativitáselméletben. Vagy nem kell értenie az alkalmatlan sokaságfélékhez, mert azok egészen sokfélék lehet, de csak kevés alkalmazható a természet modellezésére. A nem egész fraktáldimenziók is ilyenek. Egyelőre nem látjuk fizikai használhatóságát annak, hogy egy végtelen iterációval olyan halmazok is előállíthatók, melyek dimenziószáma nem egész értékű. Persze ez érdekes dolog lehet, Mandelbrotnak is nagyon tetszett.
Visszatérve, nem tudom, hogy a kvaterniók, hogyan segítik a vektorok osztását, erről nincs információm, de biztos jó valahogyan rá, ha már Hamilton kitalálta, mert nagy koponya volt (lehet talán még ittasan is... ) De én ebben csak legfeljebb valami numerikus segédeszközt tudok elképzelni, és semmi egyebet a tér mélyebb dolgairól. Én a differenciálgeometriát és a differenciálható sokaságok elméletét javaslom, ha valaki a tér és hasonló szerkezetek világát szeretné jobban megismerni és megérteni (és legfeljebb csak ezután a topológiát, mert az még absztraktabb dolgokról témázik), sőt, előbb az analízis elméletét, és egyben, ami kell is hozzá, a lineáris terek elmélete. Ez utóbbi kettő az operátorok elméletét is tartalmazza (meg természetesen a tenzoralgebrát is, és a függvényelméletet szintén). Ehhez még hozzá kell venni a disztribúcióelméletet, és akkor már nagyjából képben lesz az ember. Ezekkel már nemcsak a relativitáselmélet, hanem menni tud a kvantummechanika, kvantumtérelmélet, mértéktérelmélet. Persze azért nyilván ezeket nem csak külön, hanem átfedésekkel érdemes tanulgatni. Tudom, ez mind egy kicsit sok, de sajnos kell az értéshez, különben áltudományossá válik az ember. Sokan megkerülték ezt a hosszadalmas, olykor igen gyötrő menetet, és egyből a húrelméletekkel kezdik, de hát az emberi természet gyakran ilyen, de bármikor vissza lehet lépni pár mezőt.
"Ezt szeretem volna megtudni tőled, hogy ez a mélyebb kapcsolat, mit is jelent, miben nyilvánul meg az elméleti fizikában? Tudod arra vagyok kíváncsi, hogy milyen különlegességek kapcsolódnak a terekhez?"
Igen, azt hiszem bennem is pontosan ez a kérdés fogalmazódott meg anno. Hát valamennyire és kanyargósan végigjárva a felvázolt utat (kb. mondjuk 8 év alatt) valamennyire már van képem és fogalmam arról, hogy ilyen szempontból, hogy is néz ki a világ, és már egy-két éve látom is a határt, ahol az ellentmondások is jól kirajzolódnak. (Az általános relativitáselmélet pl. már önmagában ellentmondásos, és ezt viszonylag könnyű is fülön csípni. A kvantumelmélet sokkal rafináltabb, és önmagával nincs ellentmondásban.) A terek és mezők tényleg nagyon érdekesek, különösen azért, mert ezek nem csupán matematikai fantáziák, hanem a természet úgymond be is tölti ezeket a matematikai konstrukciókat, azaz megvalósulttá teszi. Még akkor is, ha esetleg így pl. egymástól "távol eső" létformák ellentmondásban vannak. Egyáltalán nem biztos, hogy ez megtiltható, még matematikával sem, mert van, amire annak sincs válasza. A tér különlegességei egyrészt a matematikai tulajdonságaikban rejlik, másrészt abból, hogy azt, mint szerkezetet, konstrukciót, mire használja fel a természet. A lineáris tér (vektortér, tenzortér, spinortér) viszonylag egyszerűnek mondható (a spinorokat vagy a spinor részű magasabb rendűeket leszámítva), mert lineáris, de ez csak egy igen alkalmatos alapdolog, és így alapstruktúra. Ezzel önmagában még nem igazán megyünk semmire. A tér alapvető szerkezeti tulajdonsága, hogy hány dimenziós, és hogy azokból mennyi negatív a többihez képest (a téridő 3+1 dimenziós), ha ennek a dolognak van értelme. Képzetes dimenzió nincs. Olyan van, hogy a képzetes számok dimenziója, de az pozitív, akárcsak a valós számoké, viszont a képzetes egységgel, mint szorzóval, egyetlen negatív dimenziót generálhatunk, ha másra nem használunk képzetes számokat az egész struktúrában. Egyébként az egész matematika egy nagy moduláció. A lehetőségek modulálják egymást, és ebben a nagy katyvaszban vannak szép egészséges modulációs új termékek, és aztán ezeket használjuk, a többivel nem foglalkozunk. Szóval a dimenziószám az már alapszempontból lényeges. A dimenziók lehetnek diszkrétek és folytonosak, de az utóbbi nem azt jelenti, hogy két dimenzió között is "lehetünk" (most nem a fraktálokról akarok beszélni), hanem csak azt, hogy ha megszámlálhatatlanul sokan vannak, akkor folytonossá válnak, és így csak folytonos számmal tudjuk megmondani, hogy melyik-melyik. A következő dolog már az, ha a tér nem lineáris. Ez igazából újdonságot csak akkor hoz, ha a nemlinearitáson túl valóban nem egyenes, azaz nem csak éppen torz, mert az csak azt jelentené, hogy torzan nézzük, de valójában egyenes. Viszont, ha nem egyenes, akkor görbe. Használhatnánk a tér fogalmat tovább erre is, de mivel a görbeség miatt a(z egyértelmű) távolság fogalma nem alkalmazható (kivéve infinitezimálisan kicsi esetben), ezért ezt már gyakran nem nevezzük térnek. De ettől még az elemei megvannak, és végtelenül kicsi részén majdnem olyan, mint a lineáris tér, mert a különbségek egy infinitezimál-renddel (azaz végtelenszer) még kisebbek (azaz másodrendűen kicsinyek). A végtelen nem csak problémákat okoz, hanem kicsiségben egy fontos matematikai dolgot, mégpedig az ilyen eltűnést, ami matematikailag gyümölcsöző. Ilyen esetben a matematikában ötvözhetők és összekapcsolhatók bizonyos dolgok, pl. a lineáris tér a görbével. Ez ugyan olyan mint amikor egy egyenes vonal hozzáér egy görbéhez, csak terekkel, ezért mondhatjuk, hogy az érintőtér. A lineáris érintőtér jó lesz a mennyiségeknek, mert azok értékeit számokkal fejezzük ki, ami ugye hát lineáris, a görbe valami pedig egy nagy rendszernek, mondjuk a világnak, melynek ugye minden pontjában van valami, és azt meg akarjuk mondani, hogy mi, azaz milyen esemény van ott. Na ez már kezd fizika lenni. Szóval így tér helyett ezt a világ valamit elnevezzük egyszerűen sokaságnak, mert sok pontja, azaz eleme van. A sokaság minden pontjához elképzelhető az érintőtér, és ezek kompatibilisek, tehát a dimenziójuk ugyan olyan. A görbültség egy másodrendű dolog, tehát az első rendben megengedi az egyformaságot (hatványrend és végtelen rend a matematikában a differenciálszámításban összejönnek), így szépen felépíthető ebben az egészben a differenciálgeometria, és ez marha jó dolog, bár nem kicsit nehéz. A másik irány a kvantumelmélet, ami alapvetően lineáris, de mégsem. Nagyon rafinált benne, hogy a linearitás teljesen külön van a nemlinearitástól, de mind a kettő alapvető lényege. Kalkulációban és minden elemében lineáris, de a középpontban lévő redukció, azaz a hullámfüggvény összeomlása egy nemlineáris ugrás. Nagyon absztrakt a kvantumelmélet, és igazán a kvantumtérelmélettel indul be, ami a kvantummechanikát alkalmazza (ez az alap benne) a speciálisan relativisztikus téridőn. Aztán a különféle részecsketerekre (részecskemezőkre) épül a részecskék egymással való kölcsönhatásának elmélete, majd ezek alapján a részecskék struktúrarendszerének elmélete, a mértéktérelmélet. Mivel itt nincs görbeség, mert (pszeudo)euklideszi a téridő, ezért itt gyakrabban használják a tér fogalmat, és a sokaságot viszont egyáltalán nem, mert itt azok a pontok, amik a relativitáselméletben az eseményeket jelölik, tulajdonképpen nem jelentenek fizikailag semmit. A részecskemezők (vagy részecsketerek) hullámfüggvényei ezekben a téridőpontokban egy értéket vesznek fel, ami egy komplex szám, aminek a nagysága lényegtelen. A másodkvantálás után az egyes részecskék hullámfüggvénye sem érdekesek, mert csupán már csak ott rejtőznek a keltő és eltüntető operátorok mögött. No meg aztán az elemi részecskék tere is be van ágyazódva egy mátrixvektorba, ami egy csoportelméleti struktúra (a vektor bázisait az elemi mátrixok adják), és így hozzák létre az összetett részecskéket. A mértéktérelmélet meg azzal vacakol, hogy maguk az elemi részecskék és egyes alaptulajdonságaik milyen struktúra alapján fakadtak egy még elemibb felállásból, és ez az alapstruktúra állapot mekkora energiákon milyen. (Sokan itt kezdik a fizikát tanulgatni ) Szóval ez az egész fizikai modell a térelméletet valamint annak különféle formájú tereit több ízben alkalmazza. Multitér rendszer van. Tér a térben, térben tér, és téren tér, tér mellet a tér (duális tér), mennyiségtér, állapottér, függvénytér, fázistér, paramétertér, egyenestér, görbült tér... A terek mind matematikai terek, és már a matematikán belül is alkalmazódnak, vagy éppen csak eleve megtalálhatóak bizonyos egyébként más matematikai dologban. Ilyenek a függvények, a mátrixok, és egyszerűen a komplex számok is. Ez egyszerűen azért van így, mert ha vannak alapelemek, akkor azok lineárisan kombinálhatók, és máris létrejött a lineáris tér.
Visszatérve a kvaterniókra, az csak trükközik, de semmi komolyabb. Felejtsd el, csak butít. Az ijk-s bulival csak beemel magába egy csoportelméleti egyszerű forgást, de csal is, mert olyan szám nincs, hogy j meg k. A valós számok mellett egyedül csak az egyetlen i komplex alapelem van, ami a -1 gyökének jelölése. Nincs másik gyökmínuszeggy. Az hibás, ezért hamis is. Megtéveszt. Hamilton be volt rúgva, mikor kitalálta. Ezzel az ijk-s bulival csak hülyítik a középiskolásokat. Sőt elárulom, igazából olyan sincs, hogy vektoriális szorzás. Ez is tulajdonképpen csak egy butítás. Ennyi erővel két komplex szám szorzatát is lehetne vektoriális szorzásnak nevezni, mert újra komplex számot ad. Két vektor szorzata egy másodrendű tenzor. Egy vektor a duálisával alkot csak skalárszorzatot (az ilyen értelemben duálisával, mert van duálisa egy picit másképpen is). A ez a duálisa a duális vektortérben van. A vektoriális szorzat "vektor" eredménye pedig abból jön, hogy tulajdonképpen a két vektor ékszorzatáról van szó, amely egy másodrendű antiszimmetrikus tenzort ad, aminek (3x3-3)/2=3 egymástól független komponense van, amik éppen az összeszorzott vektorokra irányítottan merőleges irányú és a kifeszített paralelogramma területével egyező hosszúságú "vektort" adják. A tenzorból ezzel a leképezéses képlettel lehet előállítani ezt a "vektort":
Ci=1/2eiklCkl, ahol Ckl=AkBl-AlBk, és az eikl az antiszimmetrikus egységtenzor.
A Ci "vektor" a Ckl antiszimmetrikus tenzor duálisa (és fordítva) (ez egy másik szempont szerinti dualitás). Érezhető, hogy csak a háromdimenziós térben jönnek ki így a dolgok, hogy két vektor ékszorzata éppen egy olyan tenzort ad, ami megfelel egy "vektornak". Azért tettem idézőjelbe a "vektort", mert az nem igazi vektor, hiszen nem poláris vektor, hanem axiális "vektor". Ez is nagyon lényeges, és még rengeteg érdekes dolog van. Szóval a kvaterniók helyett én inkább másra terelődnék, mert azzal nem sokra mész a terek megismerésében.
Persze, segítek a tanulmányodban, ha tudok, kérdezz csak.