Maradjunk annyiban, hogy korzovel csak pontokat tudunk kiszerkeszteni :)
gyok3 -at eleg egyszeru.. gyok2 mar macerasabb.
Van egy megoldaskezdemenyem, kicsit elmeleti oldalrol kozelitettem meg.Talan 'kicsit' tul korulmenyes lett, mintha rogton egy eredmenyt irok, de igy talan tanulsagosabb, igy nem torlom ki... Ime:
A gyokot egy egyenloszaru haromszogben fogjuk keresni, legyen az atfogoja x hosszu, a ket befogoja pedig y hosszu. A haromszog x-re meroleges magassaga lesz a keresett gyokketto. Ugye 2=y^2-(x/2)^2 egyenlet adodik . Ha van ket pontunk egymastol x tavolsagra, es 2 pont y tavolsagra, alapcsucsoknak az x-tavu pontokat veve, a maradek csucs konnyeden kiszerkesztheto (x-tavu pontokbol korzovel y-nyilassal metszunk egy pontot a ket ismert csucsbol) Szoval csak annyi a feladat, hogy kiszerkesszuk olyan y es x tavolsagu pontparokat, amik teljesitik a fenti feltetelt.. Kerdes, hogy milyen pontokat szerkeszthetunk egyaltalan..
Az egysegnyi szakasz adott, es ez minden. Mindket pontbol huzhatunk egysegnyi kort, ezek metszik egymast mindket oldalon, igy nyerunk egy rombuszt. A ket uj pont egymastol vett tavolsaga gyok3-szorosa az eredeti pontok tavolsaganak. Tehat szerkeszthetunk gyok3^l l=0, 1, 2, ... tavolsagu pontokat. A ket uj pontbol rombuszpontbol is szerkeszthetunk hasonlo modon csucsokat, ezek egymastol vett tavolsaga 3 (l=2)..
Az eredeti pontokkal 'vizszintesen egy vonalba' szerkeszthetunk gyok3^l l=0, 2, 4, ... tavolsagu pontokat, az eredeti pontokkal 'merolegesen pedig gyok3^l l=1, 3, 5 .. tavolsagu pontokat. Ez nem minden, amik egy vonalba esnek, vehetjuk a kulonbseguket is(az egyvonali pontok egymastol vett tavolsagat): Tehat a vizszintes tavolsagok: 1, 3, 3-1=2, 9,(9-1)/2=4, 9-1=8, ..... A fuggolegesek: gyok3, 3gyok3, 9gyok3,(9gyok3-3gyok3)/2=3gyok3 (9gyok3-gyok3)/2=4gyok3 ...
A tobbi pontpart (a rombuszok oldalai) elhanyagolhatjuk, felirva egyenleteiket hamar latszik, hogy nem lesz koztuk megoldas.
A fenti egyenletre ranezve eleg trivialisan y=gyok3 tuti, x=2 adodik.. Mazli, ilyen pontparaink mar vannak is.
Na szoval, atultetve a fenti gondolatmenetet a gyakorlatba(mindig balrol jobbra, ill fentrol lefele indexelem az uj pontokat):
Megszerkesztjuk a 2 tavu pontpart: Az eredeti ket pontban(x1, x2) egyegy egysegsugaru kort huzunk, igy megkapjuk az elso rombuszunk pontjait(x3, x4). Ezekben a pontokban az uj x3-x4 tavolsaggal, az elobbi mintajara egy ujabb rombuszt szerkesztunk, igy kapunk meg 2 pontot (x5, x6 pontok). Ezzel megkaptam a gyok3 hosszu szakaszomat: x3, x4 tavolsaga. A 2 hosszu szakasz pedig: x6,x1 pontok tavolsaga. Szerencsere az x2 pont pontosan felezi a kepzeletbeli x6-x1 szakaszt, igy a haromszog magassaganak szerkeesztese nem okoz gondot. x1, es x6 pontban rajzolok egy egy korivet, x3-x4(gyok3) tavolsaggal megegyezo sugarral. Igy kapott x7 (ill x8) pontjaink a fenti keplet szerint x2-tol pontosan gyok2 tavolsagra esnek.