Elkészült a Mandelbrot "igazi" 3D-s változata

Többször megkíséreltek 3D-s Mandelbrot képet előállítani, de egyszer sem sikerült a valós fraktál viselkedés ábrázolása. A Mandelbulb viszont már szinte tökéletes.

Elkészült a legpontosabb háromdimenziós Mandelbrot fraktál, a Mandelbulb. A fraktálokat egy "ismétlődő" folyamat állítja elő, egy számon egy egyenletet alkalmaznak, majd a kapott eredményen újra és újra megismétlik ugyanezt az egyenletet. Amikor az eredményeket egy geometriai alakzattá alakítják olyan formákat kapnak, amik ugyanazokat a struktúrákat tartalmazzák más-más méreteken, vagyis önhasonlóvá válnak. A természetben bizonyos mértékig ilyen a levelek erezete, vagy a hópelyhek alakja. A dolog nehézsége az érdekes képek kialakítására alkalmas, megfelelő egyenletek megtalálásában rejlik.


Egy 2D-s fraktál, a régi demók egyik elengedhetetlen elemeként sokan találkozhattak vele
A leghíresebb fraktál egyenlet a kétdimenziós Mandelbrot-halmaz, amit a Yale Egyetem matematikusáról Benoit Mandelbrot, a "fraktál" név kitalálójáról neveztek el. Emellett természetesen számos más fraktál típus létezik két és három dimenzióban egyaránt, utóbbiakra talán a Menger-szivacs a legegyszerűbb példa.

Többször megkíséreltek 3D-s Mandelbrot képet előállítani, de egyszer sem sikerült a valós fraktál viselkedés ábrázolása, magyarázta Daniel White, egy amatőr brit fraktálkép készítő. Ha megforgatunk egy kétdimenziós Mandelbot fraktált, vagy egy magasabb dimenziójú matematikához fordulunk, könnyedén kaphatunk egy látszólag háromdimenziós Mandelbrotot, azonban egyik módszer sem adja vissza azt a részletességet és önhasonló alakzatokat, amit White szerint egy valódi 3D-s fraktálképnek tükröznie kellene. Ezért két évvel ezelőtt elhatározta, hogy megalkotja a Mandelbrot egy "valódi" 3D-s változatát.


White Mandelbulbja
"Megpróbáltam megfigyelni hogyan működik az eredeti 2D-s Mandelbrot, hogy értelmezhessem három dimenzióban" - magyarázta. "Alkalmazhatunk összetett matematikákat, illetve nézhetjük a dolgokat geometriai szemszögből is." A komplex sík tulajdonságainak köszönhetően az utóbbi megközelítés működőképesnek tűnt.

A komplex sík épp olyan felület, mint a valós sík, csak ebben a koordináta-rendszerben a sík pontjait nem az (a,b) koordináták határozzák meg, hanem minden pontot egy a+bi alakú szám képvisel. Az "a" és "b" itt is a pont koordinátája, az "a" a szám valós része, a "b" a képzetes része. Az "i" szimbólum csak arra emlékeztet, hogy a számnak melyik része a képzetes. Az a+bi nagysága (abszolút értéke) egyenlő az a2+b2 négyzetgyökével. A számok szorzása a komplex síkon, megegyezik a forgatással, az összeadás pedig a síkon való eltolással.

A Mandelbrot sorozat előállításához csak ezeket a geometriai hatásokat kellett megismételni a sík minden egyes pontján. Egyesek a végtelenségig dagadtak, teljes egészében elhagyva a halmazt, míg mások nullára zsugorodtak. Egy tipikus fraktálkép különböző színei a nulla eléréséig lezajlott ismétlődések számát tükrözik.


A Mandelbulb közelről, ezerszeres nagyításnál is döbbenetes a részletessége
White kíváncsi volt, ha végrehajtja ugyanezeket a forgásokat és eltolásokat egy 3D-s térben, megkapja-e egy Mandelbrot-halmaz lényegét komplex számok alkalmazása nélkül. Ezek nem használhatók három dimenzióban, mivel csak két tengelyen helyezkednek el. 2007 novemberében közzétett egy képletet, ami már egészen közel járt a valódi 3D-s Mandelbrothoz, azonban még mindig nélkülözte a fraktál valós részletességét.

Ezután a fraktálok megszállottjai által látogatott Fractal Forums weboldal tagjaival közösen folytatta kutatását, aminek meg is lett az eredménye: Paul Nylander végül magasabb szintre emelte White képletét. Ezzel azonban White kutatása még nem ért véget, a bedfordi úriember szerint még a Mandelbulb sem tekinthető "valódi" 3D-s Mandelbrotnak. "Még mindig akadnak "homályos" részei, ahol nincs meg a kellő részletesség" - emelte ki. A probléma részben annak tudható be, hogy a Mandelbrot kiterjesztése a harmadik dimenzióra számos szubjektív választást igényel, ami nagyban befolyásolja a végeredményt. Például egy síkot úgy is kiterjeszthetünk 3D-be, hogy egy négyszöget kapjunk és úgy is, hogy egy gömb legyen az eredmény.


Mandelbulb "gerinc", mellette egy hasonló 2D-s Mandelbrot
"Ez egy érdekes elméleti feladat, minden attól függ, milyen tulajdonságokat akarunk megtartani a harmadik dimenzióban" - mondta Martin Turner a Manchester Egyetem fraktálokra szakosodott számítógép tudósa. A White által használt egyenletek alkalmasak lehetnek a feladat végrehajtására, azonban az algebra rendszere nem alkalmazható minden 3D-s matematikára. "A következő szakasz a matematikai szigor bevezetése lesz" - mondta Turner.