Mi az idõ?

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Relativistic_precession.svg
http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics

Aki nem ismeri ez az egypont ketpont jelolest, annak talan ilyeszto is lehet. Pedig ismert dolgokat takatnak ezek. A hely elso derivaltja a sebesseg, a masodik a gyorsulas. A sebesseg a hely valtozasa, a gyorsulas pedig a hely valtozasanak valtozasa. Egyszeru.

A pontozast Newton talalta ki,
"Az elsõ a Lagrange-féle jelölés, õ használta elõször a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, õ differenciálhányadosnak nevezte (késõbb Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: \scriptstyle{\dot{v}} és fluxiónak nevezte."
http://hu.wikipedia.org/wiki/Deriv%C3%A1lt


En d-vel jelolom ugyanezt. p a helyvektor, dp a sebesseg es ddp a gyorsulas.
r = p.x;
v = dp.y;

Itt addp.x az r..
ddp.x = (-g*m/(r2*r2)) + v*v*r;


Mig itt a szoggyorsulas van kifejezve
ddp.y = -2*dp.x*dp.y/r;



http://hu.wikipedia.org/wiki/Centrifug%C3%A1lis_er%C5%91
+ v*v*r

Mivel most polar-koordinatakkal szamolok, ezert itt v az a szogsebesseg.

Amiket ir leirtam, azok kozul a legtobb alapszintu fizika /kellene hogy legyen/.

Ha a vilag olyan, ahogy en /es Lorentz vagy Schrodinger/ elkepzelem, akkor a TOE osszes reszletet mar az altalanos iskolaban oktatjak.

Ugy hivjak, hullamfizika.

Na, akkor most nekikezdhetsz kidolgozni a TOE-t!
Vagy már eddig is abból közöltél részleteket? <#smile>

Mindezek ellenere valoszinu, hogy ez csak egy kozelites.
De a Schwarzschild radius 100 szorosaig egesz jo az egyezes az Einstein egyenletek Schwarzschild megoldasaval.

A fenytores is csak a helyes sajatidovel adhat jo eredmenyt. Az einsteini egyenletek ezt mar tartalmazzak, tehat azok biztos helyesek. Termeszetesen.
De a Lorentz-elv szerint is fel lehet irni a gravitaciot, meghozza fenytoressel.

Ennyi.

Newtoni fizika cafolva?

Hat nem hinnem.

Kicsit visszaterve a newtoni gravitaciora. Az ember azt gondolna, ez lehetetlen, de polar-koordinatakkal biztos nem mukodik.


Semmi sem lehetetlen. A trukk az, hogy csak a gravitacios gyorsulasnal hasznalom a csokkentett r2 erteket. Nem irom ismet, hogy egyszeru, mert biztos bosszanto. xD


{
skalar r,r2,v,u;
vektor p3;


r = sqrtl(p.x*p.x + p.y*p.y);
u = atan(p.y/p.x);

dp.x = (p.x*dp.x + p.y*dp.y)/r;
dp.y = (p.x*dp.y - p.y*dp.x)/(r*r);

p.x = r;
p.y = u;


for(int j=0;j<lepes;j++)
{
p = p + dp*dt;

r = p.x;
v = dp.y;

r2 = r-rs*1.414;
// r2 = r;

ddp.x = (-g*m/(r2*r2)) + v*v*r;
ddp.y = -2*dp.x*dp.y/r;
ddp.z = 0;
dp = dp + ddp*dt;

p3.x = p.x*cos(p.y);
p3.y = p.x*sin(p.y);
p3.z = 0;

pont(p3*skala,0x00ff00);
}
}

http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler's_laws_of_planetary_motion

Ez pedig nem egy Einstein cafolat. Csak annyi a lenyeg, hogy az einsteini egyenletek egy fenytorest irnak le.

De ez minden szamolas nelkul is nyilvanvalo a Schwarzschild fenysebesseg egyenletbol.
A relativitas tokeletes.
Az mozgo orak lassulnak, a testek osszemennek. De nem igaz, hogy erre nincs magyarazat. Van.

Az egesz egyszeru hullamfizika. Schrodinger es Lorentz ezt tudta, de keptelenek voltak elmagyarazni. Nem csoda, hiszen meg ma is szinte lehetetlen.

Az egesz fizika rajuk epul. Talan el kellene hinni azt, amiben hittek.

ds2 minden kordinata-rendszerben ugyan annyi.

Pontosabban a Minkowski metrikaban a ds2 az allado. A tavolsag negyzete minusz a fenyut negyzete. Ha ket esemeny kozott a tavolsag egyenlo a fenyuttal, akkor a ds2=0.
Ez a fenykup felulete.

v/c ami állandó. Mivel v-t nem tudjuk mérni (illetve értéke relativ más v-hez viszonyítva), ezért nem bizonyítható, hogy c állandó. Ez az ellentmondás úgy lett feloldva, hogy feltételezték, hogy s/t az állandó. Ez egy külsõ megfigyelõ által vizsgált rendszerre (lézeresdi, M.M. kísérlet stb.) megfelelõ, de mikor a megfigyelõ a rendszer része (ûrhajó, ikrek, stb.), már nem. Ez a tökéletes relativitás.

Mindig elrontom valahol. Helyesen:

c2y = gyok(c2 c2 - c2x c2x)
vagy
c1y = gyok(c1 c1 - c1x c1x)

1.215947e-04
2.432175e-04
2.000232e+00

Lol, a kapott szog ketszerese a newtoninak, pedig csak a fenysebesseg kiszamolasahoz hasznaltam az egyik Schwarzschild egyenletet, mit nemreg linkeltem.

A progi a fenti egyenlettel szamolja a feny iranyvaltozasat, tehat fenytorest szammol.
dpx2 = dpx *c2*c2/(c1*c1);
Ennyi.

Vagyis nem egeszen. Tomeggel rendelkezo testre fenyszeru belso mozgasokat kell szamolni. Ez hazi feladat. Az eredmeny tobb, mint meglepo. Nem en fogom leirni a megoldast.


#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>




typedef long double skalar;



struct vektor
{
skalar x,y,z;

vektor() {x=0;y=0;z=0;};
vektor(int x_,int y_,int z_) {x=x_;y=y_;z=z_;};
vektor(skalar x_,skalar y_,skalar z_) {x=x_;y=y_;z=z_;};

vektor operator + (vektor v) {vektor v_;v_.x=x+v.x;v_.y=y+v.y;v_.z=z+v.z;return v_;};
vektor operator - (vektor v) {vektor v_;v_.x=x-v.x;v_.y=y-v.y;v_.z=z-v.z;return v_;};
vektor operator * (skalar s) {vektor v_;v_.x=x*s;v_.y=y*s;v_.z=z*s;return v_;};
vektor operator / (skalar s) {vektor v_;v_.x=x/s;v_.y=y/s;v_.z=z/s;return v_;};
};

skalar skalar_szorzat(vektor v1,vektor v2) { return (v1.x*v2.x + v1.y*v2.y + v1.z*v2.z);}
skalar hossz(vektor v1) {return sqrtl(skalar_szorzat(v1,v1));}
vektor normalt(vektor v1) { return (v1/hossz(v1));}
vektor vektor_szorzat(vektor va,vektor vb)
{
vektor v_;

v_.x=(va.y*vb.z)-(vb.y*va.z);
v_.y=(va.z*vb.x)-(vb.z*va.x);
v_.z=(va.x*vb.y)-(vb.x*va.y);

return v_;
};










skalar g,c,m,rs,dr,rx,ry,dt;
vektor p,dp,ddp;
int lepes;


void newton_gravity()
{
skalar r;

while(p.x<rx)
{
p = p + dp*dt ;

ddp = normalt(p);
r = hossz(p);

ddp = normalt(p)*(-g*m/(r*r));
dp = dp + ddp*dt;
p = p + ddp*dt*dt/2;
}
}
void refract_gravity()
{
skalar r,dpx,dpy,dpx2,dpy2,c1,c2;
vektor nx,ny;

while(p.x<rx)
{
r = hossz(p);
c1 = c*(1-g*m/(2*c*c*r)) / pow(1+g*m/(2*c*c*r),3.0);

p = p + dp*dt ;

r = hossz(p);
c2 = c*(1-g*m/(2*c*c*r)) / pow(1+g*m/(2*c*c*r),3.0);//uj fenysebesseg

ny = normalt(p);//beesesi meroleges
nx.x = ny.y;
nx.y = -ny.x;
nx.z = ny.z;

dpx = skalar_szorzat(nx,dp);
dpy = skalar_szorzat(ny,dp);


dpx2 = dpx *c2*c2/(c1*c1);
dpy2 = sqrtl(c2*c2 - dpx2*dpx2);
if(dpy<0) dpy2 = -dpy2;

dp = (nx*dpx2 + ny*dpy2);
}
}



void alapallapot()
{
g = (skalar)6.67428e-11;
c = (skalar)2.99792458e8;
m = (skalar)1.9891e30;

rs = (skalar)2*m*g/(c*c);


ry = 1392000e3;//sun R
rx = 150e9;
lepes = 2000000;
dt = (rx*2/c)/lepes;


p = vektor(-rx,ry,(skalar)0.0);
dp = vektor((skalar)c,(skalar)0.0,(skalar)0.0);
}

int main()
{
alapallapot();
newton_gravity();
skalar fi = -atanl((p.y-ry)/rx)*180/M_PI;
printf("%Le \n",fi);


alapallapot();
refract_gravity();
skalar fi2 = -atanl((p.y-ry)/rx)*180/M_PI;
printf("%Le \n",fi2);
printf("%Le \n",fi2/fi);


return 0;
}

Oke, nezzuk a hazat.

Hogy mukodik a fenytores?
Mar megint matek, fuuu

sin(fi1)/sin(fi2) = c1/c2
sin(fi1)=c1x/c1
sin(fi2)=c2x/c2

(c1x/c1) / (c2x/c2) = c1/c2
c2 c1x /(c1 c2x) = c1/c2
c1x = c2x c1 c1/(c2 c2)
vagy
c1x c2 c2/(c1 c1) = c2x
c1y = gyok(c2 c2 - c1x c1x)

Mar csak egy fenysugar kell, ami elhalad a Nap mellett.

Hát ja. Ezzel a "furcsaságggal" nekem is szembekellett néznem, amikor azzal jöttem elô, hogy a gyíkemberek köztünk élnek...
Ezért írtam a szög-kalapács példát... ha az "építkezésben" egy részletre fókuszálsz, azt jobban láthatod mint a többi, de ne feledd: a cél az, hogy a "ház kész legen"...

Nezd, ahhoz, hogy eljussunk a naprendszer barmelyik bolygojara, eleg Newton egyenlete. Most akkor hibas?

Nem. Egy kozelites.

Igy igaz.

Igen, az a furcsa, hogy ez nekem magyarazat, nektek nem.
Peldaul a masik topikban a Feynman modszer egy egyszeru magyarazat arra, hogy miert megy a foton a legrovidebb uton.

Lathatoan nem erti ott senki, es emiatt agresszivek az emberek. En elmondanam, de az emberek jobb szeretnek harcolni az 'elveikert'. Valojaban csak duhosek, mert nem ertik.

voltam itt pár hete, belemélyedtem a topicba és a szakirodalomba is. anélkül hogy nagyobb vitát robbantanék ki, pusztán közgazdászként gondolkodva felteszek egy kérdést, és kíváncsi vagyok az érvekre és ellenérvekre.

szóval mi van akkor, ha einstein tévedett a téridõ-relativitás elmélettel ? ha az egész nem igaz, ahogy azt sokan támadják és legalább olyan hiteles tudományos cáfolatai vannak a dolognak mint úgymond "megérteni a paradoxont" ?

mi van akkor, ha arra a nagyszerû tudományos felfedezésre alapozva hogy megalkották az atombombát az õ elmélete alapján kész tényként kezelik a téridõ görbületet meg hasonlókat is ? hiszen bebizonyosodott, hogy õ is tévedett több dologban amikben hitt, vagy amit tudományosan állított.

nem elképzelhetõ az, h ogy mivel a nyugat európai és egyesült államokbeli tudományos köröket szintén zsidók irányítják, így nem is szivesen ismernék el a tévedést, halogatják ameddig csak lehet, talán még egykét évtizedbe is beletelik míg tudományosan is lehet cáfolni és más elmélettel helyetetsíteni ?

Az idõ kvantumos típusú mennyiség. Mint ahogyan Planck E=h*f energia adagjai is kvantumos típusúak, de!
Nem keverendõ össze a mérés-létrehozás-érzékelés kvantumossága, a lehetségesen felvehetõ állapotok folyamatosságának kizárásával.

Hogy jobban érthetõ legyen, vegyük Planck függvényét!
Igaz, hogy egy-egy konkrét f értékhez, csak egyetlen energia kvantum tartozik, de a felvehetõ frekvenciák sora folyamatos függvényû.
Azaz a fény kvantumossága egyben nem jelenti azt is, hogy csak adott kvantum sorozatok létezhetnének. Miután bármilyen frekvencia létezik, ezért bármilyen energiájú kvantum is létezik, f=0 --> f=infinity tartományban.

Az idõre éppen így érvényes, miután az igaz, hogy az óráinkban egy-egy konkrét frekvenciájú órajelet alkalmazunk forrás idõegységként,
ezért maga az idõmérés típusa idõkvantumokkal történik, de!
Miután tetszõleges frekvenciájú ( f=0 --> f=infinity tartományú) alap órajelet használhatunk, az idõkvantumok nagysága nem korlátos.

Azaz tetszõlegesen kicsin infinitezimális idõkvantumokat is használhatunk.

Jól elmagyarázod magadnak a dolgokat, de mondanál nekünk is valamit egyszerû halandóknak ezek a "cik - cak" ok nélkül, no meg a wiki nélkül is <#kerdes>

Tovabba, ha vakuumban diszperzio lenne, akkor a tavoli csillagokrol erkezo feny kulonbozo spektrumban idobe el lenne tolva, mas palyaszakaszokat latnank.

Tudtommal ilyen nem tapasztalhato, tehat a vakuumban nincs diszperzio.
Magyarul a diszperzio teljesen rossz cafolat a gravitacio fenytoreses magyarazatara.

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle

Ha az ido is kvantumos, akkor nem merhetsz egy adott idoegysegnel rovidebbet.

A Heisenberg-hatarozatlansag nem csak a

osszefuggesben ismert, hanem a -ben is.
http://upload.wikimedia.org/math/4/d/e/4dec67c5ef710e91f46619b9421804bb.png

Ez azt is jelenti, tobbek kozt, hogy egy adott energia-valtozast nem tortenhet egy adott idonel rovidebb ido alatt. Ilyen ertelemben az ido is kvantalt.

O sem ertette h a "valosag" kontextualis..<#falbav>

Tenyleg van(lehet) az idonek kvantuma..?

Egyszeru fenytoresnel csak a feny sebessege valtozik. Minden hullamhosszu fenynek ugyan akkora lesz a sebessege. Tehat ha nincs diszperzio, akkor minden szinu feny egy szogben torik.

Alap hullamfizika.

Egy latszolagfizikustol azt hallottam, hogy a gravitacio nem lehet fenytores, mert ott a hullamhossztol fugg a toresi szog.

Mondom magamban, uristen. Es ez fizikus.
Akkor lassuk.
http://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%A9nyt%C3%B6r%C3%A9s

ha L1=20 es L2=10 az ugyanakkora toresi szoget ad, mint L1=10 L2=5.
Tudni kellene szamolni. Ekkor minden hullamhosszu feny ugyanolyan sebesseggel terjed. Ez tortenik a vakuumban.

A prizman a feher feny szivarvanyszeru szetszorodasanak nem ez az oka, hanem a diszperzio.
http://hu.wikipedia.org/wiki/Diszperzi%C3%B3



De ellenorizheto ez maskepp is.




Ki nem erti a fizikat,
LOL

Tehat a gravitacio lehet fenytores, mert ott csak a sebesseg valtozasatol fugg a toresi szog, nem ugy, mint a diszperzioval megbonyolitott esetben.

A gravitalo tomeg fele egyre jobban lassul a feny.
http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric


Ennyire egyszeru.

Nem latom ertelmet, tobb okbol.

Eloszor is matekkal felirhato egy megfigyelt folyamat. A feltamadast tudtommal meg nem latott senki, habar a bibliaban volt valami utalas ra, de ebbol egyenletet felirni....

Masodszor, milyen tulajdonsagai vannak a 'feltamadasnak', amit szamokkal le lehet irni?

TC.sublimiter.
Írd le légyolykedves a feltámadást matematikai képletekben!!!!!!

Idõ,mint olyan nem létezik!
Mindenki salyát maga materalista világában érzékeli az "idõt"
Nem volt,nem lesz,hanem VAN!

Az ember elsore nem is gondolna, hogy ettol a kis elterestol az ellipszis-palya nagytengelye lassan elore fog mozogni. Pedig igen, es nagyjabol ugyan annyit mozdul el, mint az Eintein megoldasban.

Az ok pedig egyszeru. Normal tavolsagokkal szamolva az ellipszis-palya zarul, tehat egyensulyi allapotban van. De ha rs*gyok(2) ertekkel rovidebb sugarat szamolunk, akkor megno a vonzo ero, ami kibillenti a palyat az egyensulyi allapotbol. A perihelium elore fog vandorolni.

Termeszetesen a newtoni megoldas nem ad szamot az sajatido es a koordinata-ido valtozasairol. Erre talan majd a bovitett Newton-Lorentz elmelet ad megoldast.

Ugye mar lassan unalmas, hogy minden elmeletnek van egy ugyanolyan parja, ami latszolag ellentmond neki, de matematikailag megegyeznek.

Elterjedt nezet, hogy a newtoni gravitacio teljesen mas, mint az einsteini leiras.
Nos nem mindig. Ha a sugariranyu zero koordinata-pontot a Schwarzschild sugarnal vesszuk fel, akkor a kozonseges newtoni egyenletekkel jol kozelitheto az einsteini gravitacio.

Pontosabban r=r-rs*gyok(2)-vel lehet elerni a legjobb egyezest, ha semmifele idodilatacioval nem szamolunk. Azzal meg pontosabb egyezes erheto el.

Igy fordul le linuxon: g++ valami.cpp -lm -lX11

Az
-1

egy inverz matrix, Ha ezt szorozzuk az (Ev,Gu) vektorrak akkor ezt kapjuk.
skalar T0_01 = (Ev*G + Gu*F )*g;
skalar T1_01 = (Ev*F + Gu*E )*g;
Mint latszik, szorzasnal a matrix 'fejreall'. 3 dimenzios matrixoknal a dolog sokkal bonyolultabb.

/a kepen Gu es Ev is 1/2 /

Nezzuk, mit takar ez a sor:

skalar u_uu = skalar_szorzat((au_du-au)/du,au);

Az (au_du-au) a jobb also zold vektor, amit az au vegebol indul es az au_du vegebe mutat. Mint ismert, egy 3 dimenzios vektor leirhato 3 skalarral : struct vektor skalar x,y,z . A kep 2 dimenzios, de nyilvan egy gombfelulet 3d-s. A kepen minden vektor 3 dimenzios.

Kovetkezik egy osztas, a /du. Ez atmeretezi a vektort, hogy a hossza ne fuggjon a du szam nagysagatol. Ezutam mar csak a skalarszorzat marad, ami a kapott vektor au iranyu komponenset adja.
Ezt ugy lehet elkepzelni, hogy az au vektort egy sik normaljanak veszem. A sik normalja mindig meroleges a sikra, mint egy villanyoszlop az utra.
Ha au egysegnyi hosszu, akkor a szorzas utan megkapom a vektor vegpontja es a sik tavolsagat. A villanyoszlop eseteben ez megfelel a magassagnak.

Ennyi, mi nem ertheto ezen?

Ez alig tobb, mint a nyilak a kepen. Miert orulnek bele par vonalba? lol

En teljesen nyugodtan tudok aludni.
Nekem letisztult a vilagkepem, es nem hatnak meg az olyan youtube-huszarok, mint akit a masik topikban Metaphysics cimen linkeltel.

Kalapacs nelkul a dolgok eleg zavarosan neznek ki. ;-)

Meg igy is egyszerusitettem, hiszen ami nalam Eu az a kepen Eu/2, az Fu pedig Fu-Ev/2.
De igy olvashatobb az egesz. Mar akinek.

Amig nem erted, addig veszelyes.
Kicsit. xD

compiler:g++


A lenti megoldas nem egyezik a szakirodalomban talalhatoval, ugyhogy azt is ide teszem. Talan ez egyszerubb is.


vektor au = a(u+z,v ,R)-a(u,v,R);
vektor av = a(u ,v+z,R)-a(u,v,R);

vektor au_du = a(u+z+du ,v ,R) - a(u+du ,v ,R);
vektor au_dv = a(u+z ,v +dv,R) - a(u ,v+dv,R);
vektor av_du = a(u +du ,v+z ,R) - a(u+du ,v ,R);
vektor av_dv = a(u ,v+z+dv,R) - a(u ,v+dv,R);


skalar E = skalar_szorzat(au,au);
skalar F = skalar_szorzat(au,av);
skalar G = skalar_szorzat(av,av);


skalar Eu = skalar_szorzat((au_du-au)/du,au);
skalar Ev = skalar_szorzat((au_dv-au)/dv,au);
skalar Gu = skalar_szorzat((au_dv-au)/dv,av);

skalar Fu = skalar_szorzat((au_du-au)/du,av);
skalar Fv = skalar_szorzat((av_dv-av)/dv,au);
skalar Gv = skalar_szorzat((av_dv-av)/dv,av);

skalar g = 1/(E*G-F*F);
// vektor normal = vektor_szorzat(au,av); skalar g=1/skalar_szorzat(normal,normal);


skalar T0_00 = (Eu*G + Fu*F )*g;
skalar T0_01 = (Ev*G + Gu*F )*g;
skalar T0_10 = (Ev*G + Gu*F )*g;
skalar T0_11 = (Fv*G + Gv*F )*g;

skalar T1_00 = (Eu*F + Fu*E )*g;
skalar T1_01 = (Ev*F + Gu*E )*g;
skalar T1_10 = (Ev*F + Gu*E )*g;
skalar T1_11 = (Fv*F + Gv*E )*g;


skalar ddu= -T0_00*du*du - T0_01*du*dv - T0_10*dv*du - T0_11*dv*dv;
skalar ddv= -T1_00*du*du - T1_01*du*dv - T1_10*dv*du - T1_11*dv*dv;


u += du;
v += dv;
du += ddu;
dv += ddv;

http://www.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf

melyik compiler-t használod?

Egészen biztos, hogy ebbe nem lehet beleôrülni ugye ?? <#ravasz1>

#include <math.h>
#include <X11/Xlib.h>



typedef long double skalar;

struct vektor
{
skalar x,y,z;

vektor() {x=0;y=0;z=0;};
vektor(skalar x_,skalar y_,skalar z_) {x=x_;y=y_;z=z_;};

vektor operator + (vektor v) {vektor v_;v_.x=x+v.x;v_.y=y+v.y;v_.z=z+v.z;return v_;};
vektor operator - (vektor v) {vektor v_;v_.x=x-v.x;v_.y=y-v.y;v_.z=z-v.z;return v_;};
vektor operator * (skalar s) {vektor v_;v_.x=x*s;v_.y=y*s;v_.z=z*s;return v_;};
vektor operator / (skalar s) {vektor v_;v_.x=x/s;v_.y=y/s;v_.z=z/s;return v_;};
};

skalar skalar_szorzat(vektor v1,vektor v2) { return (v1.x*v2.x + v1.y*v2.y + v1.z*v2.z);}
skalar hossz(vektor v1) {return sqrtl(skalar_szorzat(v1,v1));}
vektor normalt(vektor v1) { return (v1/hossz(v1));}
vektor vektor_szorzat(vektor va,vektor vb)
{
vektor v_;

v_.x=(va.y*vb.z)-(vb.y*va.z);
v_.y=(va.z*vb.x)-(vb.z*va.x);
v_.z=(va.x*vb.y)-(vb.x*va.y);

return v_;
};



Display *dpy;
Window w;
GC gc;

void pont(int x,int y,int color)
{
XSetForeground(dpy,gc,color);
XDrawPoint(dpy, w, gc, x,y);
}




vektor a(skalar u,skalar v,skalar R)
{
vektor v_;

v_.x=R*cos(u)*sin(v);
v_.y=R*sin(u)*sin(v);
v_.z=R*cos(v);

return v_;
}

int main()
{
dpy = XOpenDisplay(0);
w = XCreateSimpleWindow(dpy, DefaultRootWindow(dpy), 0,0, 800, 600, 0,0,0);

XSelectInput(dpy, w, StructureNotifyMask);
XMapWindow(dpy, w);
gc = XCreateGC(dpy, w, 0, 0);

for(;;) { XEvent e; XNextEvent(dpy, &e); if (e.type == MapNotify) break; }




int i,ii=10000;
skalar radian=M_PI/180;
skalar u=22*radian;
skalar v=40*radian;
skalar du=0.1*radian;
skalar dv=0.05*radian;

skalar z=du*0.01;
skalar R=200;



vektor p1=a(u,v,R);
vektor v1=a(u+du,v+dv,R)-a(u,v,R);

for(i=0;i<ii;i++)
{
vektor n1=normalt(p1);
v1=v1-n1*skalar_szorzat(n1,v1);
p1=p1+v1;

pont(400+(int)p1.x,300+(int)p1.y,0xffff00);
}





p1=a(u,v,R);
v1=a(u+du,v+dv,R)-a(u,v,R);

for(i=0;i<ii;i++)
{
vektor au = a(u+z,v ,R)-a(u,v,R);
vektor av = a(u ,v+z,R)-a(u,v,R);

vektor au_du = a(u+z+du ,v ,R) - a(u+du ,v ,R);
vektor au_dv = a(u+z ,v +dv,R) - a(u ,v+dv,R);
vektor av_du = a(u +du ,v+z ,R) - a(u+du ,v ,R);
vektor av_dv = a(u ,v+z+dv,R) - a(u ,v+dv,R);


skalar E = skalar_szorzat(au,au);
skalar F = skalar_szorzat(au,av);
skalar G = skalar_szorzat(av,av);


skalar u_uu = skalar_szorzat((au_du-au)/du,au);
skalar u_uv = skalar_szorzat((au_dv-au)/dv,au);
skalar u_vu = skalar_szorzat((av_du-av)/du,au);
skalar u_vv = skalar_szorzat((av_dv-av)/dv,au);

skalar v_uu = skalar_szorzat((au_du-au)/du,av);
skalar v_uv = skalar_szorzat((au_dv-au)/dv,av);
skalar v_vu = skalar_szorzat((av_du-av)/du,av);
skalar v_vv = skalar_szorzat((av_dv-av)/dv,av);



skalar g = 1/(E*G-F*F);
// vektor normal = vektor_szorzat(au,av); skalar g=1/skalar_szorzat(normal,normal);




u_uu*=E;
u_uv*=G;
u_vu*=G;
u_vv*=F;

v_uu*=E;
v_uv*=G;
v_vu*=G;
v_vv*=F;

skalar T0_00 = (u_uu + u_uu - u_uu)*g;
skalar T0_01 = (v_uu + u_uv - v_uu)*g;
skalar T0_10 = (u_vu + u_vu - u_uv)*g;
skalar T0_11 = (v_vu + u_vv - v_uv)*g;

skalar T1_00 = (u_uv + v_uu - u_vu)*g;
skalar T1_01 = (v_uv + v_uv - v_vu)*g;
skalar T1_10 = (u_vv + v_vu - u_vv)*g;
skalar T1_11 = (v_vv + v_vv - v_vv)*g;


skalar ddu= -T0_00*du*du - T0_01*du*dv - T0_10*dv*du - T0_11*dv*dv;
skalar ddv= -T1_00*du*du - T1_01*du*dv - T1_10*dv*du - T1_11*dv*dv;

u += du;
v += dv;
du += ddu;
dv += ddv;

p1=a(u,v,R);
pont(400+(int)p1.x,300+(int)p1.y,0xff0000);
}


XFlush(dpy);
getchar();

return 0;
}

Ha ismerjuk a felulet normaljat, akkor az egesz leegyszerusodik.
Ez tortenik a gombfeluletnel.

vektor n1=normalt(p1);
v1=v1-n1*skalar_szorzat(n1,v1);
p1=p1+v1;

A problema az, hogy a gravitacios terben nem ismert a 4 dimenzios felulet normalja, Emiatt ott csak belso koordinatakkal tudunk szamolni, mint peldaul a Schwarzschild megoldasnal.

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric


Ezt mar tudjuk mi, a tavolsag definicioja centralis gravitacios terben.

Mostmar ismerjuk az egyutthatokat, de mostmar ennel sokkal tobb felirhato ezekkel a vektorokkal.

skalar E = skalar_szorzat(au,au);
skalar F = skalar_szorzat(au,av);
skalar G = skalar_szorzat(av,av);


skalar u_uu = skalar_szorzat((au_du-au)/du,au);
skalar u_uv = skalar_szorzat((au_dv-au)/dv,au);
skalar u_vu = skalar_szorzat((av_du-av)/du,au);
skalar u_vv = skalar_szorzat((av_dv-av)/dv,au);

skalar v_uu = skalar_szorzat((au_du-au)/du,av);
skalar v_uv = skalar_szorzat((au_dv-au)/dv,av);
skalar v_vu = skalar_szorzat((av_du-av)/du,av);
skalar v_vv = skalar_szorzat((av_dv-av)/dv,av);

Az utolso 8 sor a koordinata-tengelyek valtozasainak kulonbozo tengelyekre eso vetuleteit adja meg.
tovabbi kulcsszavak : "Parciális differenciálegyenletek" "Partial Differential Equations"

Ezekkel a mertekekkel mar felirhatoak a Christoffel-szimbolumok, amelyek mar kozvetlenul a metrikus tenzorunkhoz tartozo ertekek.


u_uu*=E;
u_uv*=G;
u_vu*=G;
u_vv*=F;

v_uu*=E;
v_uv*=G;
v_vu*=G;
v_vv*=F;

skalar T0_00 = (u_uu + u_uu - u_uu)*g;
skalar T0_01 = (v_uu + u_uv - v_uu)*g;
skalar T0_10 = (u_vu + u_vu - u_uv)*g;
skalar T0_11 = (v_vu + u_vv - v_uv)*g;

skalar T1_00 = (u_uv + v_uu - u_vu)*g;
skalar T1_01 = (v_uv + v_uv - v_vu)*g;
skalar T1_10 = (u_vv + v_vu - u_vv)*g;
skalar T1_11 = (v_vv + v_vv - v_vv)*g;


Ezekkel a feluleten mozgo pont masodik derivaltjat kozvetlenul ki tudjuk szamolni.

skalar ddu= -T0_00*du*du - T0_01*du*dv - T0_10*dv*du - T0_11*dv*dv;
skalar ddv= -T1_00*du*du - T1_01*du*dv - T1_10*dv*du - T1_11*dv*dv;

u += du;
v += dv;
du += ddu;
dv += ddv;

Induljunk ki abbol, amit mar ismerunk. Van 3 pontunk, amibol 2 vektort lehet felvenni.

vektor au = a(u+z,v ,R)-a(u,v,R);
vektor av = a(u ,v+z,R)-a(u,v,R);

Eddig ismert, ezek a koordinata-tengelyek. Most kisse megbonyolitom a helyzetet. A mar ismert pontokbol lepjunk tovabb du vagy dv lepessel. Igy egy remiszto de szep vektor-sereget kapunk.

vektor au_du = a(u+z+du ,v ,R) - a(u+du ,v ,R);
vektor au_dv = a(u+z ,v +dv,R) - a(u ,v+dv,R);
vektor av_du = a(u +du ,v+z ,R) - a(u+du ,v ,R);
vektor av_dv = a(u ,v+z+dv,R) - a(u ,v+dv,R);

Ezek 3 dimenzioban megmutatjak nekunk, hogyan valtoznak a gombfeluleten a koordinata-tengelyek kivulrol szemlelve.

Az egyik legnagyobb kerdes, hogy hogyan mozog egy test a teridoben.
Ennek meghatarozasara is elengedhetetlen a metrika.

"Egy test pályája gravitációs mezõben (azaz szabadesés a téridõben, egy ún. geodézikus vonal) a hatáselv segítségével határozható meg."
http://hu.wikipedia.org/wiki/Hat%C3%A1selv

De hogyan?
Egyenlore maradok a gombfeluletnel.
Keresgeljunk
http://mathworld.wolfram.com/GeodesicEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymbol.html
http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html

A dolog kezd egyre remisztobb lenni, de semmi panik.
Az utolso link valamifele szamomra ismeretlen okbol egy elbonyolitott megoldast mutat be.
http://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols
Ba igy talan valamivel jobb, de a jelolesek ismerete nelkul remenytelen a helyzete annak, aki csak futolag szeretne belepillantani a differencial geometriaba.

De nincs veszve semmi.

Bocs, ponthogy F nem nulla.
lol

Mivel a skalar szorzat a ket vektor altal bezart szoget is megadja, valojaban a metrikus tenzor ugyan az, mint a koszinusz tetel, csak egy elojelcsere tortent.
De csak ha E=G=1 es F=0 !

c^2=a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(g)
http://www.bethlen.hu/matek/Mathist/Forras/Cosinus_tetel.htm

A wikivel nem is kell tovabb foglalkozni, az osszevissza jelolesek csak elterelik a figyelmet a lenyegrol.
Mire jo meg ez a metrikus tenzor?

Jol lehet vele szamolni tavolsagot egy gorbe feluleten,de ez nem csoda, mivel ez magat a tavolsagot definialja a feluleten.
Ha E es G =1 , F pedig 0, akkor egy egyszeru 2 dimenzios sik koordinata-rendszert kapunk. Remelem ismeros:
ds^2 = 1*du^2 + 2*0*du*dv + 1*dv^2
A kozepso tag kiesik. Ha nem lenne ismeros, talan majd igy.
ds^2 = dx^2 + dy^2
ds = sqrt(dx^2 + dy^2)

Mint latszik, a masodik esetben F nem egyenlo nullaval,mert 0.001 nem vegtelenul kicsi. Ennyivel leptettem a belso koordinatakat.
Es az eredmeny:
E=4.067888e+13 F=0.000000e+00 g=4.067888e+13
E=4.067888e+13 F=1.016972e+07 G=4.067888e+13