Mondjuk ki lehet fejezni, hogy az ütközés elõtti v1, v2 esetén milyen ütközés utáni u1 és u2 sebesség lesz (nekem a fv táblázatomba is le van írva). Annyiszor fognak ütközni, amíg a 100-as tömegû sebessége nem lesz nagyobb, mint az 1-esé. Ezt a rekurzív módszert még egy excel táblában is gyorsan ki lehet számolni, mert nem olyan sokszor fognak ütközni.
Persze lehet van valami elegánsabb megoldás is.
Azon törtem a fejemet, hogy hogyan lehetne az ütközések n számát kifejezni a tömegarányokkal.
Gyakorlatilag a következõ a feladat linalgosan megfogalmazva:
un=A^nv
Ahol un az n. ütközés utáni sebességek vektora, A mátrix adja a tömeg viszonyokat, jelen esetben a11=99/101; a12=2/101; a21=-200/101; a22=99/101, v pedig a kezdeti sebességek vektora (jelen esetben [1,0]^T).
A feltétel pedig, hogy n akkora kell legyen, hogy u2>u1 (u2 a 100-as test sebessége, u1 az 1-esé) legyen.
Felhasználva, hogy v=[1,0]^T, tudjuk, hogy A^n elsõ oszlopa adja az un-t, ami kifejezhetõ a tömegek arányával. így megkaptam a nem rekurzív képletet un-re, de ezt elég rondának találtam, illetve még nem sikerült leegyszerûsítenem ahhoz, hogy n-et kifejezhessem belõle.