Rendben, szólok, ha kész, de előre bocsájtom, hogy elég magas szintű lesz a téma.
Az az Ô operátor ugyan az, amiről eddig beszéltünk, csak a kvantummechanika alkalmazásában. Az Ô pedig csak egy szeretett általános jelölése, mint a függvénynek az f. Az Ô tetején lévő ^ jelzi azt, hogy ez operátor. (A kvantummechanikában így szokás.) Nem a reguláris függvények hatnak a Hilbert-téren, hanem az operátorok. A tér, amin hatnak a függvények tere. Vagyis a tér elemei függvények, DE nem a reguláris függvények! Sajnos a kvantummechanika oktatása (lehet) sosem fog kinőni ebből a hibás ferdítésből. A kvantummechanikának nem az L2 (L négyzet) Hilbert-tér a függvénytere, hanem egy annál tágabb tér, ami tartalmazza a végtelen síkhullámot és a Dirac-deltát is (ami igazából nem függvény!!). Ezt S'-vel szokták jelölni, és ez a mérsékelt disztribúciók lineáris tere. (A Fourier-transzformáció (amiből a kvantummechanika kiinduló csererelációja eredeztethető) pedig nem vezet ki S'-ből, ami nyilván szükséges.)
A jegyzet vagy könyv, amit belinkeltél a 99. oldalon (9.15) alatt már konkrétan hibás kijelentést tesz, ugyanis a korlátosság nem feltétlenül regularitási követelmény, és (9.15) képzetes kitevő esetén sem reguláris, ahogy ott állítva van. Valamint a 103. oldalon a 9.5. tételben a normálhatóság sem feltétlen regularitási követelmény, ugyanis az állandó még nem jelent feltétlen véges értéket. A 9.4. tételben pedig (9.34) (pontosabban a Dirac-delta) ellentmond a korlátosságnak, a regularitásnak, és a függvény fogalmának is... (Ezzel most nem a jegyzetet akarom megszólni, mert csak belenéztem még, és lehet, hogy egyéb tekintetben egész jó.)
Szóval jobb lenne a kvantummechanika oktatása előtt matematikából a disztribúcióelméletet kellően leoktatni, de hát ugye a felsőoktatás "futószalagja" ezt inkább besöpri a szőnyeg alá, és inkább leoktatja kicsit falsul a kvantummechanika alapját (ami nem kicsit lényeges), magyarán itt "kicsit" szarik a diákra, csak hajtja a lovakat, hogy az gyorsan haladjon szépen tovább. De ezt már említettem...