Hát az a helyzet, hogy a "tér" szót nem egészen mindig ugyan arra a dologra használják, és ezért aki nem tudja pontosan miről is van szó, az könnyen megkeveredhet, ha csupán egy rövid szövegrészből akar kinyerni mindent. Ezt úgy általában mondom a mélyebb fizika iránt érdeklődőknek, hogy sajnos jobban utána kell nézni a dolgoknak.
"Akkor vannak különféle típusú fizikai terek, amik csak a meghatározásuk alapján különböznek egymástól."
Hát ha most arra gondolsz, hogy a különböző típusú részecskék terei is különböző típusúak, akkor ez olyan szempontból van értve, mint ahogyan pl. a skalártér vagy vektortér is különbözik egymástól, ahogyan a különböző rendű tenzorterek. Itt ettől ezek még egyféle alapvető térstruktúra felett vannak értve, a négydimenziós pszeudoeuklideszi tér felett. A félreértések csökkentése végett néhol jobb a "mező" szót használni a "tér" szó helyett, mert matematikailag egy kicsit szigorúan nézve a "tér" fogalom nem a tenzorrendeket (és spinorrendeket) megkülönböztető szerkezetekre utal, hanem arra a struktúrára, ami felett (vagyis azon) azok vannak. Így átfogalmazva a mondatom:
Hát ha most arra gondolsz, hogy a különböző típusú részecskék mezői is különböző típusúak, akkor ez olyan szempontból van értve, mint ahogyan pl. a skalármező vagy vektormező is különbözik egymástól, ahogyan a különböző rendű tenzormezők. Szóval konkrétan matematikailag a "tenzortér" nem igazán a tenzormezőt jelenti (vagyis annak elterülési formáját, ami inkább az értékeiből adódik), hanem csak a tenzor tényleges térszerkezetét. Persze a dolognak van egy visszássága, hogy a tenzormező értékei, vagyis (kvantummechanikai szemléletben vizsgálva) hullámamplitúdói hordozzák a tenzorrendnek megfelelő szerkezetet, és nem konkrétan maga a hullám, mert konkrétan maga a hullám az csupán az értékforgás a komplex számsíkon (ugye a képzetes kitevős e).
"A kvantummechanika az ő speciális fizikai tereit úgy határozza meg, vagy legalábbis egy részüket, hogy a fizikai téren érvényesülő függvények egyben szerinte meghatározzák a teret is."
Én ezt úgy érteném, hogy a fizikai (valamilyen típusú részecskét jelentő skalár-, vektor-, tenzor-, vagy spinor)téren érvényesülő függvények a részecskemező vagy (...-) tenzormező kiterjedési vagyis mezőformáját határozzák meg, bár az előbb említett visszásságra utalva a hullámfüggvény amplitúdója valóban (elválaszthatatlanul) tartalmazza (pontosabban ez adja) a tenzormező rendjét, tehát így nézve meghatározza a (szigorúan értett) tenzorteret is. Szóval gondolati egyszerűsítésképpen hiába próbáljuk különválasztani a mezőszerű kiterjedésképet a tenzorrendnek megfelelő tenzor(tér)szerkezettől, matematikailag ez inkább nem különül el.
"A Hilbert-tér esetében pedig a téren érvényesülő függvények operátora határozza meg, ill. jellemzi a teret,"
Nos a Hilbert-tér az az állapottér, ami a kvantummechanikában és kvantumtérelméletben függvényteret jelent. (Függvények Hilbert-tér jellegű struktúrált halmazát.) Ennek függvényei (a hullámfüggvények), mint ahogy írtam, tartalmazzák (az értékei, mint hullámamplitúdók) a részecskemező és -térszerkezet jellegét, vagyis a tenzorrendet és a négydimenziós pszeudoeuklideszi struktúráltságot is. Viszont a rajtuk ható operátorok ennél szabadabbak, vagyis kicsit általánosabb jellegűek is lehetnek, tehát azok ezt nem igazán határozzák meg, és nem is változtatják meg. (A különféle részecskék egymásba való átalakulásának tárgyalásához a kvantumtérelméletet nem csak a bevezető jellegű szabad részecskék szintjén, hanem a különféle kölcsönhatások leírásának (ilyen-olyan) szintjén is ismerni kell, és ezzel egyben nagyrészt érteni azokat a részecskeelméleti összefogó struktúrákat, amik a Standard Modell leszűrődéséhez vezettek... Az utóbbi, több, mint kilencven évben az a tudományos munkaprogram, ami ezeket megadta, rengeteget agyalt a dolgokon, és még, ha az ebből leszűrtek szépen rendbe szedve benne is vannak néhány majdnem arasznyi vastagságú könyvben, akkor is nagyon nehéz ezeket egy személynek a korlátos életideje és képessége miatt nem csak megérteni, hanem jól át is látni... Most megint megemlíteném a felsőoktatás erre igazából alkalmatlan futószalagját, ami legfeljebb beindítani tudja a sikeres tudásfejlődés menetét...) Persze azért valamit csinálnak a hullámfüggvénnyel, de a Hilbert-térrel sem kezdenek semmit, mert csak az elemein hatnak.
"... ami nem is lenne probléma. Ha ez nem a reguláris függvények operátora, akkor mely függvények operátora, ami a Hilbert-teret meghatározza, és akkor a reguláris függvények mire jók{; csak röviden}?"
Amint lentebb írtam, a Hilbert-teret adó függvények halmazával a kvantummechanika szempontjából az a nagy és alapvető probléma, hogy nem tartalmazzák a végtelen síkhullámot és a Dirac-deltát (most ezeket itt egyébként mindenféle tenzor- meg spinorrendekben is értve..). A kvantummechanika matematikai megalapozása ezek nélkül nem csak, hogy kicsit és feleslegesen csúnya, hanem hiányos is, ugyanis az igencsak fontos folytonos spektrum nem tárgyalható ezek nélkül. (Neumann J. kicsit melléfogott ebben...) Szóval olyan állapottér kell, ami tartalmaz mindent, ami kell. Ez pedig a Hilbert-tér jellegűnél tágabb függvénytér. Az alkalmazott operátor lehet képes hatni tágabb halmazon is, lényeges lehet viszont, hogy ne vezessen ki abból a halmazból, amit értelmez az elmélet, mert akkor Fatal Error van.. A kvantummechanika operátorai éppenséggel nem vezetnek ki a Hilbert-térből sem, ami persze azért jó, de a hiányzó elemek nélkül akkor sem lehet folytonos spektrumról beszélni, ami viszont nagyon hiányozna a kvantummechanika elméletéből.
"... szerintem attól még, hogy a tér és az egyenletei közt kapcsolatot feltételezünk, tulajdonképen csak felszínes ismereteink lesznek a térről, mert nem fogjuk tudni, hogy a tér eredetileg miért van kapcsolatban ezekkel a rá jellemző egyenletekkel!"
A "téregyenlet" fogalmat nem feltétlen úgy kell érteni, hogy az bele tud szólni a tér struktúrájába. (Fogalomhasználataink sok esetben nem pontosan tükrözik az összetevő szavak szigorú külön vett matematikai értelmét az egész fogalomra, és sok esetben ezek az összekovácsolások matematikailag is többféle dologhoz vezetnek...) Szóval a "téregyenlet" fogalom így önmagában nem egyértelmű. Az általános relativitáselméletben a téregyenletnek hatalma van a tér azon struktúrája felett, ami kapcsolatban van a görbültséggel, de nem tudja befolyásolni (változtatni) a négydimenziós pszeudo szerkezetet. A kvantummechanikában (és az erre épülő kvantumelméletekben) nincs a fizikai térnek görbültsége, így az csak (négydimenziós pszeudo)euklideszi lehet. A görbültség ugyanis nem fér össze a spinorokkal, de más okból sem a kvantumelmélet matematikájával. (Ez a természetleírás, vagyis a modern fizika talán legnagyobb gondja. Aminek a feloldására inspiráló egyszerű kérdés az, hogy akkor mégis hogy a fenébe működik együtt, és egyszerre. Kb. egyszerre hatalmasodtak el a fizikában, és azóta ezt a problémát (a tökéletlen húrelmélet ide vagy oda) még senkinek sem sikerült feloldania.) A kvantummechanika és a kvantumtérelmélet, valamint a mértéktérelmélet téregyenletei egészen más jellegűek, mint az általános relativitáselmélet téregyenletei.