Ha ilyen alapon helyettesítünk egy görbét (vonalat) egy másikkal, a helyettesítő (vonal) hossza akárhányszor nagyobb is lehetne, mint a helyettesítendő görbéé, tehát NEM csak a "Pi = 4" látszhatna igaznak, mert a 4 helyett bármilyen Pi-nél nagyobb szám is állhatna (csak erősebben kell cikk-cakkozni).
De ahogyan a két pont közötti távolságot sem a feleslegesen hosszú lehetséges útvonalak végtelen sokasága definiálja, hanem a LEGRÖVIDEBB ÚTVONAL, úgy egy görbe hosszúságát sem a végtelen sok lehetséges feleslegesen hosszú útvonal definiálja, hanem a MINIMÁLIS HOSSZÚSÁGÚ.
Vonalakat lehet definiálni igen furmányos módon is, de a számunkra fontos esetekben folytonos és differenciálható függvényekkel írhatók le, ezekben az esetekben pedig a függvény meredekség vektor elemei hosszúságainak az integrálásával lehet megkapni az előbbi MINIMÁLIS HOSSZÚSÁGOT. (A meredekség vektor megállapításához szükséges a függvény deriváltja.)
Hogy melyik közelítő módszer a jó, és melyik a rossz, azt onnan lehet sejteni, hogy konvergál-e egyáltalán, és jó felé-e. Adott esetben pl. teljesen hasonló logikával a kör BELSEJÉBE is rajzolhanánk egy négyzetet (1 lenne az átlója), majd nekiláthatnánk a sokszögesítésének, amely ugyanúgy NEM konvergálna felfelé, mint ahogy a KÍVÜLRE rajzolt sokszög kerülete sem konvergál lefelé. Ezért ebből csak annyit tudunk meg a Pi értékéről, hogy kisebb mint 4, de nagyobb, mint 4/(négyzetgyök 2) = 2.828...
Ha a kör köré és belsejébe szabályos sokszögeket rajzolunk, és a határátmenetet úgy képezzük, hogy a szögek számát emeljük, akkor a körül írt sokszög kerülete csökkenni fog, a belül írt sokszögé meg növekedni, miközben határértékben a különbségük minden előre meghatározott piciny epszilon számnál kisebbé válik, ha a sokszög szögeinek a számával eléggé felmegyünk, ugyanakkor a Pi értéke (amely kifejezi az egységnyi sugarú kör kerületét), az mindig az előbbi kettő között marad. EZÉRT biztos, hogy ez a határérték a Pi-t adja meg, a kör köré rajzolt cakkozott négyzet pedig NEM.